انظمة العـــــــــد تعريف أنظمة العد : تدعى مجموعة طرق تمثيل الأعداد وكتابتها بـ أنظمة العد وضع قواعدهذه الأنظمة العالم العربي :الخوارزمي الذي مثل بنظام الثنائي بالحاسب بأنه يجب على كل رقم ثنائي أن يمثل في ذاكرة الحاسب على شكل متتالية من الأرقام الثنائية {1,0} وتقوم فكرة أي نظام عد على مبدأين أساسين هما اساس النظام وهو عدد صحيح موجب و عدد رموز أو مفردات هذا النظام ويوجد امثلة على نظم العد القديمة كنظام العدد الصيني الذي يسمى نظام الدزينة أو الد ستة كذلك نظام العد الرومانية (الاحرف الرومانية ) كذلك يوجد نظام عد عشريني و أخيرا نظام عد ستيني ... نظام العد أساسه الثنائي: {0,1} 2 الثلاثي: {0,1,2} 3 الرباعي : {0,1,2,3} 4 الخماسي : {0,1,2,3,4} 5 السداسي :{0,1,2,3,4,5} 6 السباعي :{0,1,2,3,4,5,6} 7 الثماني : {0,1,2,3,4,5,6,7} 8 التساعي : {0,1,2,3,4,5,6,7,8} 9 العشري :{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 10 الست عشري {0,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F } 16
ملاحظة : يجب التميز بين اساس النظام وأكبر مفردة في هذا النظام أي ان : أساس النظام هو الست عشري واكبر مفردة هو الخمسة عشر...وهكذا
القاعدة العامة في العد : عندما نريدالعد في أي نظام عد نبدأهذه الأرقام وفق مفردات هذا النظام وبالترتيب . حتى نصل الى أكبر مفردة في هذا النظام عندئذ نضع صفر ونضيف واحد الى الخانة التالية . ونكرر هذه العملية مرات .... قواعد التحويل :
قاعدة التحويل من النظام العشري الى اي نظام اخر: لإيجاد نتيجة التحويل من النظام العشري الى أي نظام عد اخر نقسم العدد المراد تحويله على أساس النظام المراد تحويل اليه ونضع الناتج في أعلى الجدول والباقي في أدنى الجدول....فيكون الجواب هو البواقي مثال 1 :حول العدد (25)10 إلى مقابله في النظام الثنائي: الباقي
25 ÷ 2 = 12 1(lsd) الخانة الأقل أهمية(خانة الاّحاد) 0 12 ÷ 2 = 6 0 0 6 ÷ 2 = 3 0 03 ÷ 2 = 1 1 1 ÷ 2 = 0 1(msd)(25)10 = (11001)2
مثال 2 :حول العدد (300)10 إلى مقابله بالنظام الثماني: الباقي 300 ÷ 8 =37 4(lsd) 37 ÷ 8 = 4 5 4 ÷ 8 = 0 4(msd) (300)10 =(454)8
مثال 3 :حول العدد314)10 ) إلى مقابله بالنظام الست عشري: الباقي 314÷16= 19 A 19 ÷ 16 = 1 3 1 ÷ 16 = 0 1 (314)10 =(13A)16
قاعدة التحويل من أي نظام عد الى نظام العد العشري :نستخدم هذه القاعدة :
Bn=a0b0 + a1 b1 +a2 b2 +an bn
حيث : Aقيمة خانة العدد B : أساس النظام(وهو 2 في النظام الثنائي و8 في النظام الثماني و هكذا)مرفوع لأس متزايد ابتداءا من الصفر في قيمة الاحاد و 1 في العشرات ......
مثال 4 : حول العدد (11001)2 إلى مقابله في النظام العشري : 1×1)+(2×0)+(4×0)+(8×1)+(16×1)=(25)) مثال 5: حول العدد 454)
إلى مقابله في النظام العشري (1×4)+(8×5)+(64×4)=(300)10
مثال 6: حول العدد (13A)16 إلى مقابله بالنظام العشري
(1×11)+(16×3)+(256×1)=(314)10
قاعدة التحويل من النظام الثماني إلى الثنائي بالاتجاهين: عند الانتقال إلى النظام الثنائي نستبدل كل خانة من النظام الثماني بثلاث خانات من النظام الثنائي أما عند الانتقال إلى النظام الثماني نستبدل كل ثلاث خانات من النظام الثنائي ابتداءا من خانة الاّحاد بخانة من النظام الثماني . مثال 7: حول العدد 76) إلى مكافئه بالنظام الثنائي (111 110)2=(76)8 قاعدة التحويل من النظام الست عشري إلى الثنائي بالاتجاهين: عند الانتقال إلى النظام الثنائي نستبدل كل خانة من الست عشري بأربع خانات من الثنائي أما عند الانتقال إلى النظام الست عشري نستبدل كل أربع خانات من الثنائي بخانة من الست عشري. مثال 8 : حول العدد (E92)16 إلى مكافئه الثنائي (1101 1001 0010)2=(E92)16
مثال 9 :
حول العدد (1111 0011 0101)2 إلى مقابله بالنظام الست عشري : 1111=F 0011=3 0101=5 (1111 0011 0101)2=(F35)16
قاعدة التحويل من النظام الثماني إلى الست عسري بالاتجاهين: للتحويل من الست عشري إلى الثماني ننتقل إلى الثنائي بإبدال كل خانة من الثماني بثلاث خانات من الثنائي ثم نبدل كل أربع خانات من الثنائي ابتداءا من خانة الاّحاد بخانة من الست عشري وفي حال تولد لدينا نقص في الخانات نضيف أصفار إلى يسار العدد لأنها لا تؤثر على قيمة العدد
مثال 10 :
(7B)16=( 0111 1011)2 =(001 111 011)2=(173)8
قاعدة تحويل انظمة الأ عداد العشرية من أي نظام عد الى النظام العشري BN=a0 b-0 +a1 b1- + a¬2 b2- + a¬n bn-
2=()10(0'01001)
قاعدة تحويل الأرقام (الأعداء العشرية) من نظام العد العشري الى أي نظام اخر:
نبدأ بتقسيم العدد المراد تحويله على أساس النظام المراد الوصول اليه لكن في هذه الحالة سنقسم على B-1 أي التقسيم على كسر (ضرب بالمقلوب)
1- وسنضع الناتج هو العدد العشري والباقي هو العدد الصحيح نكرر هذه العملية عدة مرات حتى: 2- 3- يتكرر العدد نفسه المراد تحويله 4- عندما يكون الناتج صفر (عندئذ نقف) والجواب هو أحد البواقي من اليسار والى اليمين.
نظام الـ BCD: أي النظام العشري المرمز ثنائياً ويعمد هذا النظام على تحويل الأرقام من شكلها في النظام العشري إلى شكلها في النظام الثنائي ولا علاقة له بطريقة تحويل الأعداد بين هذين النظامين . يعم هذا النظم على مقابلة كل رقم من الأرقام في النظام العشري بأربع خانات من النظام الثنائي وفق الجول التالي:
الرقم بنظام الـ BCD الرقم العشري 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9
مثال: (264)10=(0010 0110 0100)BCD
بينما في التحويل من النظام العشري إلى الثنائي يكون: 264)10=(100001000)2)
مثال آخر: 589)10=(0101 1000 1001)BCD) بينما: 598)10=(1001010110)2)
أسئلة مقترحة: كم رقما عشرياً يمكن تمثيله بشيفرة BCD في البايت الواحد؟ الجواب: رقمين لأن كل رقم يمثل بأربع خانات ما هو أكبر رقم عشري يمكن تمثيله في البايت الواحد عن طريق اتخاذ شيفرة ال BCD؟ الجواب : 99 ويمثل كالتالي: (1001 1001)BCD العمليات الحسابية في أنظمة العد: الجمع: ويتم في جميع الأنظمة -ما عدا الBCD- كما لو أننا نقوم بالعملية في النظام العشري.
الجمع في النظام الثماني: (943)10 +(674)10 ـــــــــــــــــ (1617)10
(1657)8 +(1242)8 ــــــــــــــــــــ (3121)8
الجمع في النظام الست عشري: (63588)10 +(26013)10 ـــــــــــــــــــــــــ (89601)10
(f864)16 +(659d)16 ـــــــــــــــــــــــ (15E01)16
الجمع في النظام الثنائي: (362)10 +(245)10 ـــــــــــــــــــ (607)10
(101101010)2 +(11110101)2 ـــــــــــــــــــــــــــــــــ (1001011111)2 الطرح: ويتم في جميع الأنظمة -ما عدا نظام الBCD- بنفس الطريقة التي تتم في النظام العشري الطرح في النظام الثماني: (9834)10 -(656)10 ـــــــــــــــــــ (9178)10
(23152)8 -(1220)8 ـــــــــــــــــــ (21732)8
الطرح في النظام الست عشري: (54864)10 -(8757)10 ـــــــــــــــــــــ (46107)10
(D650)16 -(2235)16 ــــــــــــــــــــ (B41B)16
الطرح في النظام الثنائي: (563)10 -(76)10 ــــــــــــــــــ (487)10
(1000110011)2 -(1001100)2 ــــــــــــــــــــــــــــــــ (111100111)2
المتمم الأحادي والمتمم الثنائي:
المتمم الأحادي:هو عبارة عن عملية استبدال الأصفار بواحدات وبالعكس أيضاً في اللأعدا الثنائية. - ظهر مشكلة في المتمم الأحادي تتعلق في الصفر فقط حيث أدت العملية إلى صفر سالب وهذا غير ممكن عملياً ولذلك تم استخدام المتمم الثنائي للتغلب على هذه المشكلة. المتمم الثنائي: وهو عبارة عن المتمم الأحادي مضافا إليه (1) في الخانة الأقل أهمية في المتمم الثنائي في حال تولد حمل يهمل هذا الحمل فيكون الناتج موجباً وفي حال لم يتولد حمل يكون الناتج سالباً ملاحظات خارجية: الهدف من عملية الإتمام الثنائي هو استبدال عملية الطرح بالجمع.
ملاحظة : يجب التميز بين اساس النظام وأكبر مفردة في هذا النظام أي ان : أساس النظام هو الست عشري واكبر مفردة هو الخمسة عشر...وهكذا
القاعدة العامة في العد : عندما نريدالعد في أي نظام عد نبدأهذه الأرقام وفق مفردات هذا النظام وبالترتيب . حتى نصل الى أكبر مفردة في هذا النظام عندئذ نضع صفر ونضيف واحد الى الخانة التالية . ونكرر هذه العملية مرات .... قواعد التحويل :
قاعدة التحويل من النظام العشري الى اي نظام اخر: لإيجاد نتيجة التحويل من النظام العشري الى أي نظام عد اخر نقسم العدد المراد تحويله على أساس النظام المراد تحويل اليه ونضع الناتج في أعلى الجدول والباقي في أدنى الجدول....فيكون الجواب هو البواقي مثال 1 :حول العدد (25)10 إلى مقابله في النظام الثنائي: الباقي
25 ÷ 2 = 12 1(lsd) الخانة الأقل أهمية(خانة الاّحاد) 0 12 ÷ 2 = 6 0 0 6 ÷ 2 = 3 0 03 ÷ 2 = 1 1 1 ÷ 2 = 0 1(msd)(25)10 = (11001)2
مثال 2 :حول العدد (300)10 إلى مقابله بالنظام الثماني: الباقي 300 ÷ 8 =37 4(lsd) 37 ÷ 8 = 4 5 4 ÷ 8 = 0 4(msd) (300)10 =(454)8
مثال 3 :حول العدد314)10 ) إلى مقابله بالنظام الست عشري: الباقي 314÷16= 19 A 19 ÷ 16 = 1 3 1 ÷ 16 = 0 1 (314)10 =(13A)16
قاعدة التحويل من أي نظام عد الى نظام العد العشري :نستخدم هذه القاعدة :
Bn=a0b0 + a1 b1 +a2 b2 +an bn
حيث : Aقيمة خانة العدد B : أساس النظام(وهو 2 في النظام الثنائي و8 في النظام الثماني و هكذا)مرفوع لأس متزايد ابتداءا من الصفر في قيمة الاحاد و 1 في العشرات ......
مثال 4 : حول العدد (11001)2 إلى مقابله في النظام العشري : 1×1)+(2×0)+(4×0)+(8×1)+(16×1)=(25)) مثال 5: حول العدد 454)
إلى مقابله في النظام العشري (1×4)+(8×5)+(64×4)=(300)10مثال 6: حول العدد (13A)16 إلى مقابله بالنظام العشري
(1×11)+(16×3)+(256×1)=(314)10
قاعدة التحويل من النظام الثماني إلى الثنائي بالاتجاهين: عند الانتقال إلى النظام الثنائي نستبدل كل خانة من النظام الثماني بثلاث خانات من النظام الثنائي أما عند الانتقال إلى النظام الثماني نستبدل كل ثلاث خانات من النظام الثنائي ابتداءا من خانة الاّحاد بخانة من النظام الثماني . مثال 7: حول العدد 76)
إلى مكافئه بالنظام الثنائي (111 110)2=(76)8 قاعدة التحويل من النظام الست عشري إلى الثنائي بالاتجاهين: عند الانتقال إلى النظام الثنائي نستبدل كل خانة من الست عشري بأربع خانات من الثنائي أما عند الانتقال إلى النظام الست عشري نستبدل كل أربع خانات من الثنائي بخانة من الست عشري. مثال 8 : حول العدد (E92)16 إلى مكافئه الثنائي (1101 1001 0010)2=(E92)16مثال 9 :
حول العدد (1111 0011 0101)2 إلى مقابله بالنظام الست عشري : 1111=F 0011=3 0101=5 (1111 0011 0101)2=(F35)16
قاعدة التحويل من النظام الثماني إلى الست عسري بالاتجاهين: للتحويل من الست عشري إلى الثماني ننتقل إلى الثنائي بإبدال كل خانة من الثماني بثلاث خانات من الثنائي ثم نبدل كل أربع خانات من الثنائي ابتداءا من خانة الاّحاد بخانة من الست عشري وفي حال تولد لدينا نقص في الخانات نضيف أصفار إلى يسار العدد لأنها لا تؤثر على قيمة العدد
مثال 10 :
(7B)16=( 0111 1011)2 =(001 111 011)2=(173)8
قاعدة تحويل انظمة الأ عداد العشرية من أي نظام عد الى النظام العشري BN=a0 b-0 +a1 b1- + a¬2 b2- + a¬n bn-
2=()10(0'01001)
قاعدة تحويل الأرقام (الأعداء العشرية) من نظام العد العشري الى أي نظام اخر:
نبدأ بتقسيم العدد المراد تحويله على أساس النظام المراد الوصول اليه لكن في هذه الحالة سنقسم على B-1 أي التقسيم على كسر (ضرب بالمقلوب)
1- وسنضع الناتج هو العدد العشري والباقي هو العدد الصحيح نكرر هذه العملية عدة مرات حتى: 2- 3- يتكرر العدد نفسه المراد تحويله 4- عندما يكون الناتج صفر (عندئذ نقف) والجواب هو أحد البواقي من اليسار والى اليمين.
نظام الـ BCD: أي النظام العشري المرمز ثنائياً ويعمد هذا النظام على تحويل الأرقام من شكلها في النظام العشري إلى شكلها في النظام الثنائي ولا علاقة له بطريقة تحويل الأعداد بين هذين النظامين . يعم هذا النظم على مقابلة كل رقم من الأرقام في النظام العشري بأربع خانات من النظام الثنائي وفق الجول التالي:
الرقم بنظام الـ BCD الرقم العشري 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9
مثال: (264)10=(0010 0110 0100)BCD
بينما في التحويل من النظام العشري إلى الثنائي يكون: 264)10=(100001000)2)
مثال آخر: 589)10=(0101 1000 1001)BCD) بينما: 598)10=(1001010110)2)
أسئلة مقترحة: كم رقما عشرياً يمكن تمثيله بشيفرة BCD في البايت الواحد؟ الجواب: رقمين لأن كل رقم يمثل بأربع خانات ما هو أكبر رقم عشري يمكن تمثيله في البايت الواحد عن طريق اتخاذ شيفرة ال BCD؟ الجواب : 99 ويمثل كالتالي: (1001 1001)BCD العمليات الحسابية في أنظمة العد: الجمع: ويتم في جميع الأنظمة -ما عدا الBCD- كما لو أننا نقوم بالعملية في النظام العشري.
الجمع في النظام الثماني: (943)10 +(674)10 ـــــــــــــــــ (1617)10
(1657)8 +(1242)8 ــــــــــــــــــــ (3121)8
الجمع في النظام الست عشري: (63588)10 +(26013)10 ـــــــــــــــــــــــــ (89601)10
(f864)16 +(659d)16 ـــــــــــــــــــــــ (15E01)16
الجمع في النظام الثنائي: (362)10 +(245)10 ـــــــــــــــــــ (607)10
(101101010)2 +(11110101)2 ـــــــــــــــــــــــــــــــــ (1001011111)2 الطرح: ويتم في جميع الأنظمة -ما عدا نظام الBCD- بنفس الطريقة التي تتم في النظام العشري الطرح في النظام الثماني: (9834)10 -(656)10 ـــــــــــــــــــ (9178)10
(23152)8 -(1220)8 ـــــــــــــــــــ (21732)8
الطرح في النظام الست عشري: (54864)10 -(8757)10 ـــــــــــــــــــــ (46107)10
(D650)16 -(2235)16 ــــــــــــــــــــ (B41B)16
الطرح في النظام الثنائي: (563)10 -(76)10 ــــــــــــــــــ (487)10
(1000110011)2 -(1001100)2 ــــــــــــــــــــــــــــــــ (111100111)2
المتمم الأحادي والمتمم الثنائي:
المتمم الأحادي:هو عبارة عن عملية استبدال الأصفار بواحدات وبالعكس أيضاً في اللأعدا الثنائية. - ظهر مشكلة في المتمم الأحادي تتعلق في الصفر فقط حيث أدت العملية إلى صفر سالب وهذا غير ممكن عملياً ولذلك تم استخدام المتمم الثنائي للتغلب على هذه المشكلة. المتمم الثنائي: وهو عبارة عن المتمم الأحادي مضافا إليه (1) في الخانة الأقل أهمية في المتمم الثنائي في حال تولد حمل يهمل هذا الحمل فيكون الناتج موجباً وفي حال لم يتولد حمل يكون الناتج سالباً ملاحظات خارجية: الهدف من عملية الإتمام الثنائي هو استبدال عملية الطرح بالجمع.
